Matematika

Kvadratická rovnice

Quadratic Formula — ax² + bx + c = 0

x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

a (x² coefficient)

b (x coefficient)

c (constant)

What is Quadratic Formula?

▾

Kvadratický vzorec řeší jakoukoli rovnici tvaru ax² + bx + c = 0 pro x. Funguje pro všechny kvadratiky – dokonce i ty, které nelze faktorizovat – což z něj dělá nejuniverzálnější metodu řešení. Vzorec znali babylonští matematici již v roce 2000 před naším letopočtem.

Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.

How to Quadratic Formula

▾

1Arrange the equation in standard form: ax² + bx + c = 0
2Identify a (coefficient of x²), b (coefficient of x), c (constant)
3Calculate the discriminant: Δ = b² − 4ac
4If Δ ≥ 0: substitute into x = (−b ± √Δ) / 2a for two real roots
5If Δ < 0: the equation has two complex (non-real) roots

Worked Examples

▾

Example 1

Given:x² − 5x + 6 = 0

Výsledek:x = 3 or x = 2

Δ = 25−24 = 1 > 0. Roots: (5±1)/2

Example 2

Given:x² − 2x + 1 = 0

Výsledek:x = 1 (repeated)

Δ = 4−4 = 0. One repeated root.

Example 3

Given:x² + x + 1 = 0

Výsledek:Complex roots

Δ = 1−4 = −3 < 0. No real solutions.

Example 4

Given:2x² + 3x − 2 = 0

Výsledek:x = 0.5 or x = −2

Δ = 9+16 = 25. Roots: (−3±5)/4

Special Cases

▾

When a = 0

The equation becomes linear (bx + c = 0), not quadratic. Solve as x = −c/b.

Vertex of the parabola

The x-coordinate of the vertex is x = −b/(2a), the midpoint of the two roots.

Discriminant (Δ = b² − 4ac) Summary

▾

Δ value	Number of real roots	Graph crosses x-axis
Δ > 0	Two distinct real roots	At two points
Δ = 0	One repeated real root	Touches at one point
Δ < 0	No real roots (complex)	Does not cross

⭐

Did you know?

Kvadratický vzorec byl poprvé zapsán v moderní algebraické notaci René Descartesem v roce 1637. Předtím matematici popisovali stejnou metodu slovy a geometrickými diagramy.

References

Variable Legend

a= coefficient of x²b= coefficient of xc= constantΔ= discriminant = b² − 4ac

Quadratic formula

Finds both roots simultaneously.

…

Discriminant analysis

Determines the nature of roots before solving.

Δ > 0

…

Δ = 0

…

Δ < 0

…

Vieta's formulas

Relationships between roots and coefficients.

Sum of roots

…

Product of roots

…

Vertex form

Rewrite in vertex form to find the parabola's turning point.

…

Vertex

…

a= coefficient of x²

b= coefficient of x

c= constant

Δ= discriminant = b² − 4ac

Ratings & comments

…

Získejte týdenní matematické tipy

Připojte se k 12 000+ odběratelům, kteří každý týden dostávají tipy na kalkulačku.

🔒

100 % zdarma

Nikdy bez registrace

✓

Přesné

Ověřené vzorce

⚡

Okamžité

Výsledky při psaní

📱

Připraveno pro mobily

Všechna zařízení